CENTRO DE
ESTUDIOS TECNOLOGICOS INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS N.71
LA LINEA RECTA
GEOMETRIA
ANALITICA
ING.MARTA
REYNA
KEYLA
ALEJANDRA SALDAAÑA FERRAL
3K N.L:44
Angulo de inclinación y
pendiente
Analíticamente hablando, una recta se define como
una ecuación de primer grado en dos variables de la
forma:
Ax + By + C = 0
donde ,A ,B
C son coeficientes numéricos y las variables son x y y
.
La recta es el lugar geométrico de los puntos P( y,x ) que cumplen con la ecuación Ax + By + C = 0 .
Las características de una recta son la pendiente y
la ordenada al origen.
• La pendiente
(m) se define como su grado de inclinación y es la tangente del ángulo
(medido en
sentido contrario a las manecillas del reloj) que
forma la recta con el eje x .
Todo ello por supuesto considerando que el entorno,
genera los elementos necesarios para la utilización de las razones
trigonometrícas osea exista un triángulo rectángulo en él. Ya que de lo
contrario sería necesario aplicar algunas leyes como: (Ley de los cosenos o ley
de los senos) para conocer ello, ya que serían otra clase de triángulo.
Por el camino del (Análisis
vectorial) se sugiere además de la noción de razones trigonométricas, el
conocimiento de la ubicación de los vectores dentro del marco de un (Sistema de
coordenadas)..
En lo que ha (Pendiente de una recta) se refiere,
consideramos como (Pendiente) aquella magnitud que expresa la variación o
crecimiento de un objeto con respecto a sí mismo, por ejemplo: El caso de la
recta, indica el crecimiento de la misma al cabo del paso de una unidad.
Sirviendo dicho hecho como una base para la construcción de algunos otros
objetos más complejos.
Como se muestra, en la imagen:
Paralelismo y perpendicularidad entre
rectas.
Dos
rectas son paralelas cuando nunca se unen en ninguna parte por lo tanto deben
tener la misma inclinación.
De
igual forma si sus pendiente son iguales y sus ángulos.
Dos
rectas son perpendiculares cuando al interceptarse forman un Angulo de 90
grados.
Intersección:
es cuando se cortan dos rectas.
Intercepción:
Cuando solo se tocan.
Una
recta va a hacer paralela cuando sean signos negativos(-)
Una
recta va a hacer perpendicular cuando sean signos diferentes (-,+)
Una
recta va a hacer oblicua cuando sus resultados sean diferentes.
Intercepción
Intercesión
Ecuación
normal de la recta (Primera forma)
Esta es la forma normal de la recta:
|
|
Siendo d el valor de la distancia entre la
recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y
el eje de las ordenadas.
Donde x que es una constante que nos ayudará a
obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la
recta.
|
|
Forma polar de
la ecuación de la recta
Esta
representación gráfica facilita la obtención de la forma polar. En la figura 1
se muestra la representación vectorial del número a +
bi. La longitud o magnitud del vector se denotar y
se reconoce de inmediato que
es lo que se ha denominado valor
absoluto del número complejo. Además, el ángulo 
de la figura 1 se encuentra dado por
de la figura 1 se encuentra dado por
Ángulo de intersección entre
dos rectas.
Se
define el ANGULO entrel1 y l2 como
el ángulo positivo obtenido al rotar la rectal2 hacia l1 .
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
el ángulo positivo obtenido al rotar la rectal2 hacia l1 .
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2)
(2)
También,
cot b1 = cot (q1 - q2)
(3)
Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:
tan b1
, (2)’
y cot b1
, (3)’
Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.
De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2)
(2)También,
cot b1 = cot (q1 - q2)
(3)Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:
tan b1
, (2)’ y cot b1
, (3)’Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.
FAMILIA
DE RECTAS
La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o haz de rectas, ésta definición es útil para hallar la ecuación de una recta en particular. La familia de rectas se clasifica en tres grupos los cuales son:
La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o haz de rectas, ésta definición es útil para hallar la ecuación de una recta en particular. La familia de rectas se clasifica en tres grupos los cuales son:
FAMILIAS DE RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA.
Si la ecuación de la recta dada es
Ax+By+C=0 y su pendiente es m=-A/B, entonces el conjunto de rectas L1 y que son
paralelas a L2 tendrán por ecuación y=mx+b, por el criterio de paralelismo.
Y=-A/Bx+b entonces Ax+By+Bb
Si sustituimos la cantidad constante B
por el parámetro K tendremos la ecuación de la familia de rectas paralelas a L1
L1: Ax+By+K=0
FAMILIA DE RECTAS PERPENDICULARES A UNA
RECTA DADA.
Si conocemos la recta L1:Ax+By+C=0 con
pendiente m=-A/B y si y=mx+b es cualquiera de las rectas, L1 entonces por el
criterio de perpendicularidad su ecuación será de la forma:
Y=B/Ax+b entonces L1=Bx-Ay+Ab=0
Si sustituimos por el producto Ab por el
parámetro K obtenemos:
L1:Bx-Ay+K=0
FAMILIA DE RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCIÓN
DE DOS RECTAS.
El conjunto de rectas pueden ser
1,2,3……..n, que pasan por un punto se la llama también familia de rectas con
centro P.
Si:
L1:Ax1+By1+C1 Y L2:A2x+B2y+C2=0
Son las rectas dadas que cortan en el
centro P, la ecuación:
L1: α(A1x+B1y+C)+β(A2x+B2y+C2)=0
Multiplicando a la primera recta por α y a la segunda recta por β y a este resultado lo dividimos por α y si suponemos que β/α=K tendremos:
A1x+B1y+C1+K(A2x+B2y+C2)=0
Por medio de esta ecuación se puede
determinar cualquier recta de la familia con centro P. El parámetro K es una
constante para cada miembro de la familia que varía de recta en recta
Aplicaciones
de la forma normal de la ecuación de la recta
A)CALCULO DE LA DISTANCIA A UNA
PUNTO DADO
1-DISTANCIA NO DIRIGIDA
LA DISTANCIA “d” DE UN PUNTO P1 = x1-y1 a una recta cuya
ecuación es L;Ax+By +C=0
SE OBTIENE MEDIANTE:
2-DISTANCIA DIRIGIDA
LA DISTANCIA “d” DE UN PUNTO P1 = x1-y1 a una recta cuya
ecuación es L;Ax+By +C=0
Rectas y
puntos notables de un triángulo.
Las rectas y puntos notables de un
triángulo son:
las mediatrices, , que se cortan en un punto llamado circuncentro ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;
las medianas, , que se cortan en el baricentro, , centro de gravedad del triángulo;
las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia
las mediatrices, , que se cortan en un punto llamado circuncentro ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;
las medianas, , que se cortan en el baricentro, , centro de gravedad del triángulo;
las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia
inscrita del triángulo;
las alturas, , que se cortan en el orto centro, .
las alturas, , que se cortan en el orto centro, .
Las mediatrices
Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.
Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.
Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.
RECTA
PUNTO-PENDIENTE
Dados los puntos
P( y,x ) y (x1,y1)
se observa que la pendiente es:
m=tan θ=
ahora, si se despeja y – y1 queda:
y − y 1= m( x – x1)
que es la ecuación punto-pendiente de la
recta.
PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN
Si en el caso anterior, el punto P1 se desplaza hasta que coincida con el
eje y , se tiene:
Se advierte que el punto P1 (x1,y1 ) se convierte en P1 (0, b) , donde b es la ordenada al origen.
Para este caso
la pendiente es:
DOS PUNTOS
(CARTESIANA)
Dados los
puntos P(x,y), P1( x1,y1 ) y P2 (x2,y2 ) de una recta
observa que la
pendiente que une a los puntos P y P1 es:
Forma
simétrica
Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le
puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación
de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al
origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son:
|
y
|
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación,
pero primero se debe calcular la pendiente:
|
|
Después se sustituye en la ecuación y2 ? y1 = m(x2 ? x1), usando cualquiera de los dos
puntos, en este caso (a,0):
|
|
Por último se tiene que dividir toda la ecuación
entre el término independiente ab:
Se obtiene la ecuación de la recta en su forma
simétrica. Estaecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta
de laque se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de
laecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha
rectaintersecta a los ejes.
FORMA GENERAL
La ecuación explícita de la recta cuando se conocen
dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la
forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan
incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: laecuación
general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:
TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0
(1) , A, B, C 
R; A y B no
son simultáneamente nulos, representan una linea recta.
R; A y B no
son simultáneamente nulos, representan una linea recta.
BIBLIOGRAFIA
http://es.scribd.com/doc/36172330/14/Angulo-de-interseccion-entre-dos-rectashttp://geometriaanalitica3k.blogspot.mx/2012/10/geometria-analitica-segundo-parcial.html
http://es.scribd.com/doc/36172330/14/Angulo-de-interseccion-entre-dos-rectashttp://geometriaanalitica3k.blogspot.mx/2012/10/geometria-analitica-segundo-parcial.html
